Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, từ A vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn

a) Ta có:
$\angle AEB = \angle ADB$ (cùng chắn cung AD trên đường tròn)
$\angle AEB = \angle ADE$ (cùng chắn cung AE trên đường tròn)
Do đó, $\angle ADB = \angle ADE$, suy ra $\triangle ADB \sim \triangle ADE$ (có 1 góc riêng bằng nhau và góc vuông còn lại bằng nhau)
Từ đó, ta có: $\frac{AB}{AD} = \frac{AE}{AB}$
Suy ra, $AB^2 = AE.AD$

b) Ta có:
$\angle AHB = 90^\circ$ (do $HB \perp AO$)
$\angle AEB = \angle ADB$ (cùng chắn cung AD trên đường tròn)
$\angle ADB = \angle AHB$ (cùng nằm trên cùng cạnh)
Do đó, tứ giác AEHB là tứ giác nội tiếp.

c) Ta có:
$\angle OHD = 90^\circ$ (do $HD \perp AO$)
$\angle OED = 90^\circ$ (do $BD$ là đường kính của đường tròn)
Vậy, $\angle OHD = \angle OED$

d) Ta có:
$\angle OAC = 90^\circ$ (do $OC \perp OA$)
$K$ là trung điểm của $BO$, nên $OK \parallel AD$ và $CK = \frac{1}{2}BO = \frac{1}{2}AB$
Vậy, $\triangle CKA \sim \triangle CDB$ (có 2 góc riêng bằng nhau)
Do đó, $\angle CKD = \angle CAD$
Nhưng $\angle CAD = 90^\circ$ (do $AD$ tiếp xúc với đường tròn tại $E$)
Vậy, $\angle CKD = 90^\circ$, suy ra $CK \perp AD$.