Trong hệ trục Oxy cho các đường thẳng d1: x + 2y + 3 = 0, d2: x - 3y + 1 = 0 và d3: x + 2y - 1 = 0

a) Để tính góc giữa hai đường thẳng d1 và d2, ta cần tính cosin của góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa hai đường thẳng được tính bằng công thức:

cosθ = |a1*a2 + b1*b2| / √(a1^2 + b1^2) * √(a2^2 + b2^2)

Trong đó, (a1, b1) và (a2, b2) lần lượt là vector pháp tuyến của d1 và d2.

Đường thẳng d1: x + 2y + 3 = 0 có vector pháp tuyến (1, 2)
Đường thẳng d2: x - 3y + 1 = 0 có vector pháp tuyến (1, -3)

cosθ = |1*(-3) + 2*(-3)| / √(1^2 + 2^2) * √(1^2 + (-3)^2)
cosθ = |-3 - 6| / √5 * √10
cosθ = |-9| / √50
cosθ = 9 / √50

Vậy góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là arccos(9 / √50) ≈ 81.87°

b) Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d3, ta sử dụng công thức khoảng cách giữa một điểm và một đường thẳng:

Khoảng cách giữa đường thẳng d và điểm A(x0, y0) là: d(A, d) = |ax0 + by0 + c| / √(a^2 + b^2)

Đường thẳng d1: x + 2y + 3 = 0
Đường thẳng d3: x + 2y - 1 = 0

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d3, ta chọn một điểm nằm trên đường thẳng d3, ví dụ điểm A(0, -0.5) và tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d1:

d(A, d1) = |1*0 + 2*(-0.5) + 3| / √(1^2 + 2^2)
d(A, d1) = |-1| / √5
d(A, d1) = 1 / √5

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d3 là 1 / √5.