Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH

a. Ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \]
Vậy tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA theo định lí đồng dạng tam giác.

Gọi \(AH = x\), ta có:
\[ \frac{HB}{AB} = \frac{HC}{AC} = \frac{AH}{AB} \]
\[ \frac{HB}{9} = \frac{HC}{12} = \frac{x}{9} \]
\[ \frac{HB}{9} = \frac{HC}{12} = \frac{x}{9} = \frac{3}{4} \]
\[ HB = 3, HC = 4, x = 3 \]

b. Ta có:
\[ AH^2 = HB \cdot HC \]
\[ 3^2 = 3 \cdot 4 \]
\[ 9 = 12 \]

c. Từ \(BF\) là phân giác góc \(ABC\), ta có:
\[ \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \]
\[ AE = 3x, EC = 4x \]

Tỉ số diện tích của tam giác \(ABE\) và tam giác \(HBF\) là:
\[ \frac{S_{ABE}}{S_{HBF}} = \frac{AE}{HB} \cdot \frac{AB}{AH} = \frac{3x}{3} \cdot \frac{9}{3} = \frac{9}{3} = 3 \]