Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của AB

a) Ta có:
$\angle{A} = 90^\circ$ (do tam giác ABC vuông tại A)
$I$ là trung điểm của $AB$ nên $AI = IB$
$IN \perp BC$ nên $\angle{AIN} = 90^\circ$
Vậy tam giác $AIN$ vuông tại $I$ và có góc $\angle{A} = \angle{AIN}$ nên tam giác $AACB$ đồng dạng với tam giác $ANIB$.
Do đó, ta có $\frac{BA}{AN} = \frac{BI}{IB} \Rightarrow BA \cdot BI = AN \cdot IB \Rightarrow BA \cdot BI - BC \cdot BN$

b) Diện tích tam giác ABC:
Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác ABC ta có $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$
Diện tích tam giác ABC là $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{34} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{34}}{2} \approx 7,5$ cm²

Vậy đáp án đúng là: D. 7,5 cm²

c) Ta có $BC^2 = BN^2 + NC^2$ (theo định lý Pythagore trong tam giác BNC)
$BC^2 = 5^2 = 25$
Vì $NC = AC - AN = 3 - 1,5 = 1,5$ (do tam giác $AIN$ vuông tại $I$ và $AI = IB$)
Nên $BN = \sqrt{BC^2 - NC^2} = \sqrt{25 - 1,5^2} = \sqrt{25 - 2,25} = \sqrt{22,75} \approx 4$

Vậy đáp án đúng là: A. 4cm

d) Ta có $\angle{IAN} = \angle{ICN}$ (cùng là góc vuông)
$\angle{AIN} = \angle{A} = \angle{CIN}$ (do tam giác $AIN$ và $CIN$ đồng dạng)
Vậy tam giác $AIN$ đồng dạng với tam giác $CIN$.
Do đó, ta có $\frac{AN}{CN} = \frac{AI}{CI} \Rightarrow \frac{1,5}{BN} = \frac{1,5}{2} \Rightarrow BN = 2$

Vậy đáp án đúng là: B. 2cm