a) Ta có $\angle ADE = \angle AED$ (do $AD$ là phân giác của $\angle BAC$), suy ra tam giác $ADE$ vuông tại $D$. Do đó, $AD = DE$.

b) Ta có $\angle AEM = \angle AEB = 90^\circ$ và $\angle AME = \angle ADE = \angle AED$. Vậy tam giác $AME$ đều, suy ra $BM$ là đường trung trực của $AE$.

c) Ta có $\angle AKE = \angle AFE = 90^\circ$ và $FK = FA$. Vậy tam giác $AKE$ vuông tại $K$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $AKE$.

d) Ta có $AH \parallel BC$ (do $\angle HAB = \angle ABC$ và $\angle ABH = \angle ACB$), suy ra $AH \perp MN$ tại $N$ (do $MN$ là đường trung trực của $BC$). Vậy $MN \perp AB$.