Giải:

a) Ta có AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc MBC = góc MAN (cùng chắn cung MN). Tương tự, góc NBC = góc NAM (cùng chắn cung NM). Do đó, tứ giác AMON là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có góc BAC = góc BFC (cùng nằm trên cùng một cung BF), góc CAF = góc CAB (cùng nằm trên cùng một cung CE). Do đó, tam giác AFC đồng dạng với tam giác ABC theo góc. Từ đó, ta có $\frac{AE}{AB} = \frac{AC}{AF}$.

Do tứ giác AMON nội tiếp nên góc AOM = góc ANM. Tương tự, góc AON = góc AMN. Kết hợp với AM = AN, ta có tam giác AMO đồng dạng với tam giác ANO theo góc. Từ đó, ta có $\frac{AM}{AN} = \frac{AO}{AO} = 1$.

Áp dụng định lý đồng dạng tam giác, ta có $\frac{AM}{AN} = \frac{AC}{AF} = \frac{AE}{AB}$. Từ đó, ta suy ra $AM^2 = AE.AC$.

Do đó, ta có AH vuông góc với BC và $AM^2 = AE.AC$.

c) Ta có AH vuông góc với BC nên tứ giác AHDC là tứ giác nội tiếp. Áp dụng định lý Ptolemy trong tứ giác AHDC, ta có $AH.AD = AC.HD + AD.HC$.

Do $AM^2 = AE.AC$ nên $AM^2 = AC.HD + AD.HC$. Tương tự, ta có $AM^2 = AC.HD + AD.HC = AH.AD$. Vậy ta đã chứng minh được AM^2 = AH.AD.

Để chứng minh 3 điểm M, H, N thẳng hàng, ta sử dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC cùng với tứ giác AMON nội tiếp.