Cho đường tròn (O) đường thẳng d cắt đường tròn tại điểm A; B

Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học và định lí.

a) Ta có EF vuông góc với AB nên tứ giác ABDE là tứ giác nội tiếp. Do đó, ta có: ∠ADE = ∠EBD. Tương tự, ta có ∠AED = ∠DBE. Từ đó suy ra tứ giác ABDE là tứ giác điều hòa. Khi đó, ta có: AD. BE = AE. BD.

Xét tam giác AEC, ta có: ∠AEC = ∠BEC = 90° (do EF vuông góc với AB). Vậy tam giác AEC vuông tại E. Khi đó, ta có: AE. EC = DE. EC = CE. DI.

Từ hai công thức trên, ta có: AD. BE = AE. BD = AE. EC = CE. DI. Vậy tứ giác EBDI là tứ giác điều hòa. Do đó, ta có E, D, K, I cùng nằm trên một đường tròn.

b) Ta có ∠CIK = ∠CED (cùng nằm trên cùng một cung ED của đường tròn chứa E, D, K, I).

Ta cũng có ∠CKI = ∠CDI (cùng nằm trên cùng một cung DI của đường tròn chứa E, D, K, I).

Vậy hai tam giác CIK và CED đồng dạng theo góc.

c) Ta có: ∠CAK = ∠CBK (vì AB là tiếp tuyến của đường tròn tại B).

Do đó, hai tam giác CAK và CBK đồng dạng theo góc. Từ đó, ta có: CA/CK = CK/CB.

Xét tứ giác ABCK, ta có: CA/CK = AB/BK.

Kết hợp với công thức trên, ta có: AB/BK = CK/CB.

Từ đó, ta suy ra: CA.BK = CB.AK.

Vậy ta đã chứng minh được CA.KB = CB.KA.