Để chứng minh tam giác ABI = tam giác EBI, ta cần chứng minh hai tam giác này có cặp góc bằng nhau.

Ta có: $\angle ABI = \angle EBI$ (do AI là phân giác của góc B)

Và $\angle IAB = \angle IEB$ (cùng chắn cung IE trên cùng AB)

Do đó, ta có tam giác ABI = tam giác EBI (theo góc - góc - góc)

Do đó, ta có AI = IE (do tam giác ABI = tam giác EBI)

Ta có IC = IE (do tam giác ICE vuông tại I)

Vậy AI = IC

Để chứng minh BI vuông góc với CF, ta cần chứng minh tứ giác BCFE là tứ giác điều hòa.

Ta có: $\angle BCF = \angle EBI$ (cùng chắn cung BE trên cùng CF)

Và $\angle CBF = \angle CEF$ (cùng chắn cung CE trên cùng BF)

Do đó, tứ giác BCFE là tứ giác điều hòa.

Vậy BI vuông góc với CF (do tứ giác điều hòa có đường chéo vuông góc với nhau).