Cho tam giác ABC nhọn (AB

Để chứng minh tứ giác $HBNM$ nội tiếp, ta cần chứng minh rằng góc $\angle HNM$ bằng góc $\angle HBM$.

Ta có:
\[\angle HNM = \angle HAM \quad (\text{cùng chắn cung } AM)\]
\[\angle HBM = \angle HAM \quad (\text{hình chữ nhật } ABMH)\]

Vậy ta có $\angle HNM = \angle HBM$, từ đó suy ra tứ giác $HBNM$ nội tiếp.

Tiếp theo, ta cần chứng minh $AM \cdot AB = AN \cdot AC$.

Ta có:
\[\angle AMN = \angle ABN \quad (\text{cùng chắn cung } AN)\]
\[\angle ANM = \angle ACM \quad (\text{cùng chắn cung } AM)\]

Vậy tứ giác $AMBN$ đồng dạng với tứ giác $ACMN$, từ đó suy ra:
\[\frac{AM}{AC} = \frac{AB}{AN}\]
\[AM \cdot AN = AB \cdot AC\]

Vậy ta đã chứng minh được $AM \cdot AB = AN \cdot AC$.