Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9cm, AC = 12cm. Kẻ đường cao AH. Tia phân giác của góc B cắt AH tại F và cắt AC tại E

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A nên theo định lý Pythagore, ta có:
AB² + AC² = BC²
9² + 12² = BC²
81 + 144 = BC²
225 = BC²
BC = 15cm

Gọi M là trung điểm của BC, ta có AM = MC = BC/2 = 7.5cm

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
AH² + AM² = HM²
AH² + 7.5² = BH²
AH² + 56.25 = BH²
BH = AH² + 56.25

Vậy ta có: BA² = BH.BC
BA² = (AH² + 56.25) * 15
BA² = 15AH² + 843.75

b) Ta có:
AE/EC = AB/BC
AE/EC = 9/15
AE/EC = 3/5

Vậy AE = 3/5 * AC = 3/5 * 12 = 7.2cm
Và EC = 5/5 * AC = 5/5 * 12 = 4.8cm

c) Diện tích tam giác ABE = 1/2 * AE * AB = 1/2 * 7.2 * 9 = 32.4cm²
Diện tích tam giác HBF = 1/2 * BH * BF = 1/2 * (AH² + 56.25) * BF

Từ phân giác góc B, ta có BF/FC = AB/AC
BF/(12-EC) = 9/12
BF/(12-4.8) = 3/4
BF/7.2 = 3/4
BF = 5.4cm

Vậy diện tích tam giác HBF = 1/2 * (AH² + 56.25) * 5.4

Tỷ số diện tích tam giác ABE và tam giác HBF = (32.4) / (1/2 * (AH² + 56.25) * 5.4) = 32.4 / (2.7 * (AH² + 56.25))

Để tính được tỷ số này cần biết giá trị của AH. Bạn có thể tiếp tục giải bài toán để tìm giá trị của AH.