a) Ta có tam giác ABC vuông tại A nên theo định lý Pythagore, ta có:
AB² + AC² = BC²
9² + 12² = BC²
81 + 144 = BC²
225 = BC²
BC = 15 cm

Gọi M là trung điểm của BC, ta có AM = MC = BC/2 = 7.5 cm

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
AH² + AM² = HM²
AH² + 7.5² = BH²
AH² + 56.25 = BH²
BH = AH² + 56.25

Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
BA² = BH.BC
9² = (AH² + 56.25) * 15
81 = 15AH² + 843.75
15AH² = -762.75
AH² = 50.85
AH ≈ 7.13 cm

b) Ta có AE là phân giác của góc B nên theo định lý phân giác trong tam giác, ta có:
AB/BE = AH/HE
9/BE = 7.13/HE
BE = 9HE/7.13

Ta cũng có:
EC = AC - AE
EC = 12 - 9HE/7.13

c) Diện tích tam giác ABE:
S(ABE) = 1/2 * AB * AE
S(ABE) = 1/2 * 9 * 9HE/7.13
S(ABE) = 40.06HE

Diện tích tam giác HBF:
S(HBF) = 1/2 * BH * HF
S(HBF) = 1/2 * (AH² + 56.25) * HF
S(HBF) = 1/2 * (50.85 + 56.25) * HF
S(HBF) = 53.55HF

Từ đó, ta có tỉ số diện tích của tam giác ABE và tam giác HBF:
S(ABE)/S(HBF) = 40.06HE / 53.55HF
S(ABE)/S(HBF) = 40.06HE / 53.55 * (AC - HE)
S(ABE)/S(HBF) = 40.06HE / (53.55 * 12 - 53.55HE)