a) Ta có AM = MB, AN = NC, AP = PB nên tam giác ABC và tam giác MNP đồng dạng.
Khi đó, ta có góc BAC = góc NMP, góc ABC = góc MNP, góc ACB = góc MPN.
Vậy ta có góc BAC = góc NMP = góc ABC = góc MNP = góc ACB = góc MPN.
Do đó, tam giác ABC và tam giác MNP cùng nội tiếp trong đường tròn (O).

Gọi I là giao điểm của AS và MN. Ta có AI song song với BC (do tam giác ABC và tam giác MNP đồng dạng).
Khi đó, ta có góc ASI = góc ANM = góc ABC = góc MNP = góc ACB = góc MPN.
Vậy ta có góc ASI = góc ANM = góc ABC = góc MNP = góc ACB = góc MPN.
Do đó, tứ giác ASMI nội tiếp.

Vậy ta có tứ giác ASMD nội tiếp.

b) Ta có góc KBC = góc KAC (cùng chắn cung KS trên đường tròn (O)).
Vậy ta có tam giác KBC đồng dạng với tam giác KAC.
Do đó, KB/KA = KC/KB.
Suy ra, KB^2 = KC.KA = KD.KA.

c) Ta có góc KAC = góc KBC (cùng chắn cung KS trên đường tròn (O)).
Vậy ta có tam giác KAC đồng dạng với tam giác KBC.
Do đó, góc KAC = góc KBC = góc KQP.
Vậy góc KPQ = 90 độ.