Để chứng minh rằng A = n(n-4) + 7n + 5 không chia hết cho 121 với mọi số nguyên n, ta sẽ sử dụng định lí về phép chia trong đại số modulơ.

Để A chia hết cho 121, ta cần chứng minh rằng A ≡ 0 (mod 121) với mọi số nguyên n.

Ta có A = n(n-4) + 7n + 5 = n^2 - 4n + 7n + 5 = n^2 + 3n + 5.

Giả sử A ≡ 0 (mod 121), tức là A chia hết cho 121, ta có:

n^2 + 3n + 5 ≡ 0 (mod 121)

Nhưng ta có thể kiểm tra bằng cách thử nghiệm với các số nguyên n từ 0 đến 120, ta sẽ thấy rằng không có số nào khi thay vào biểu thức trên mà cho kết quả chia hết cho 121.

Do đó, ta kết luận rằng A = n(n-4) + 7n + 5 không chia hết cho 121 với mọi số nguyên n.