a) Ta có:
$\angle OBC = \angle OAC$ (cùng chắn cung AB)
$\angle OCA = \angle OAB$ (cùng chắn cung AC)
$\angle OAC + \angle OAB = 180^\circ$ (tổng góc ngoại tiếp)
$\Rightarrow \angle OBC + \angle OCA = \angle OBC + \angle OAB = 180^\circ$
$\Rightarrow$ tứ giác OBCA nội tiếp đường tròn.

Ta có $\angle BOC = 2\angle BAC$ (đường tròn nội tiếp)
$\angle BAC = 90^\circ$ (tiếp tuyến vuông góc với đường tròn)
$\Rightarrow \angle BOC = 180^\circ$
$\Rightarrow$ BC vuông góc OA.

b) Ta có $\angle OCE = 90^\circ$ (do CE vuông góc AB)
$\angle OEC = \angle OAC = \angle OAB$ (cùng chắn cung AC, AB)
$\Rightarrow$ tứ giác OECB là hình thoi.

Ta có $\angle OCE = \angle OAC = \angle OAB$ (cùng chắn cung AC, AB)
$\angle OCE = \angle OAB = \angle OAC = \angle OCB$ (cùng chắn cung AB, AC, BC)
$\Rightarrow$ CD//OA.

c) Ta có $\angle OMD = \angle OME = 90^\circ$ (do MD vuông góc với a, ME vuông góc với AB)
$\angle OEP = \angle OEC = 90^\circ$ (do EP vuông góc với a, EC vuông góc với AB)
$\Rightarrow$ DN = OM + EP.