a) Ta có ABH và DBA có cặp góc tương đương: ∠ABH = ∠DBA (góc vuông) và ∠BAH = ∠DAB (cùng là góc nhọn). Do đó, theo góc - cạnh - góc, ta có tam giác ABH đồng dạng với tam giác DBA.

b) Ta có BH là đường cao của tam giác ABH nên ta có:
\(BH = \frac{2 \times S_{ABH}}{AB} = \frac{2 \times \frac{1}{2} \times AB \times AH}{AB} = AH = \sqrt{AD^2 - HD^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7} cm\).

c) Ta có: \(\frac{HM}{HB} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{DN}{CD} = \frac{3}{3} = 1\).
Do đó, ta có \(HM = \frac{2}{5}BH\) và \(DN = \frac{3}{5}CD\).

Vậy ta có: \(DN = \frac{3}{5} \times 4 = \frac{12}{5} cm\) và \(HM = \frac{2}{5} \times \sqrt{7} = \frac{2\sqrt{7}}{5} cm\).

Tứ giác DNMI là hình bình hành vì DN // MI và DN = MI.
Ta có \(AM \perp MN\) vì AM // AB và MN // AB.