Cho ∆ABC cân tại A,kẻ BD vuông góc với AC và CE vuông góc với AB(D e AC,E thuộc AB)

a) Ta có ∠BDC = 90° và ∠CEB = 90° (do BD vuông góc với AC và CE vuông góc với AB).
Khi đó, ta có ∠BDC = ∠CEB (cùng bằng 90°), suy ra ∆BDC ≅ ∆CEB (cạnh góc cạnh).
Do đó, BD = CE và ∠BHC = ∠BDC + ∠CEB = 90° + 90° = 180° - ∠ABC (do ∆ABC cân tại A), nên ∆BHC cân.

b) Vì ∆BHC cân nên HB = HC.

c) Ta có NH < HC và NH = NH (trivial), suy ra NH < HC < HD.
Vậy số sánh HB và HD là HB < HD.

d) Gọi I là giao điểm của BN và CM. Ta cần chứng minh BN, AH, CM đồng quy.
Ta có ∠BNI = ∠BHC (do ∆BHC cân) và ∠CMI = ∠BHC (do ∆BHC cân).
Vậy ∠BNI = ∠CMI, suy ra BN // CM.
Gọi K là giao điểm của BN và AH. Ta có ∠BKH = ∠BHC (do ∆BHC cân) và ∠BAH = ∠BHC (do ∆BHC cân).
Vậy ∠BKH = ∠BAH, suy ra BN // AH.
Tương tự, ta có CM // AH.
Vậy BN, AH, CM đồng quy tại một điểm I.