Cho S = 1/2 + 2/2^2 + 3/3^2 + 4/4^2 + ... + 2003/2003^2. Chứng minh S nhỏ hơn 2

Ta có:
S = 1/2 + 2/2^2 + 3/3^2 + 4/4^2 + ... + 2003/2003^2
= 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/2003
= 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/2003

Ta biết rằng:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n < 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... + 1/2 = 1 + n/2

Với n = 2003, ta có:
S < 1 + 2003/2 = 1 + 1001.5 = 1002.5 < 2

Vậy ta đã chứng minh được rằng S nhỏ hơn 2.