Chứng minh AD = BC. Chứng minh A là trung điểm của HD

a) Ta có E là trung điểm của AB nên AE = EB.
Vì DF = FB nên ta có FD = 1/2 FB = 1/2 AE = 1/2 AB.
Vậy ta có tam giác ADF và tam giác ABC đồng dạng (cân đối) nên AD = BC.

b) Ta có E là trung điểm của AC nên AE = EC.
Vì HE = EC nên ta có HC = 1/2 EC = 1/2 AE = 1/2 AC.
Vậy ta có tam giác AHC và tam giác ABC đồng dạng (cân đối) nên A là trung điểm của HD.

c) Ta có AD = BC (đã chứng minh ở câu a) và AE = EC (E là trung điểm của AC).
Vậy ta có tam giác ADE và tam giác CEB đồng dạng (cân đối) nên CD // AB.

d) Ta có AP là đường chéo của tứ giác ACPH nên ta cần chứng minh AP là đường phân giác của góc CPH.
Ta có tam giác ADE và tam giác CEB đồng dạng (cân đối) nên CD // AB và AD = BC.
Vậy ta có góc ACD = góc ABC.
Ta cũng có góc HCD = góc ABC (do CD // AB).
Vậy ta có góc ACP = góc HCP.
Vậy AP là đường phân giác của góc CPH.
Tương tự, ta chứng minh được BD và CH cũng là đường phân giác của góc CPH.
Vậy ta có AP ; BD; CH đồng quy.