Chứng tỏ phương trình có nghiệm với mọi m. Tìm m để thỏa mãn hệ thức

Để phương trình \(3x^2 + 5mx - 4 = 0\) có nghiệm với mọi \(m\), ta cần phải xét điều kiện để phương trình trên có nghiệm, tức là phương trình trên phải có delta không âm.

Delta của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) là: \(\Delta = b^2 - 4ac\).

Áp dụng vào phương trình \(3x^2 + 5mx - 4 = 0\), ta có:
\[\Delta = (5m)^2 - 4*3*(-4) = 25m^2 + 48\]

Để phương trình có nghiệm, ta cần \(\Delta \geq 0\), tức là:
\[25m^2 + 48 \geq 0\]
\[25m^2 \geq -48\]
\[m^2 \geq -\frac{48}{25}\]
\[m^2 \geq -\frac{24}{25}\]

Vì \(m^2\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi \(m\), nên điều kiện trên luôn thoả mãn với mọi \(m\).

Vậy, để phương trình \(3x^2 + 5mx - 4 = 0\) có nghiệm với mọi \(m\), không cần phải xác định giá trị cụ thể của \(m\).