Trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC, lấy hai điểm I và G sao cho AI = IG = GD. Gọi E là trung điểm của AC

1. Ta có AI = IG = GD, suy ra tam giác AIG và tam giác GID đều cân tại I và G. Do đó, ta có IG = ID và góc GID = góc IGD.
Vậy tam giác GID cũng là tam giác cân tại G, từ đó ta có góc GDI = góc IDG.
Như vậy, ta có góc GDI = góc IDG = 180° - góc GID = 180° - góc IGD = góc A.
Do đó, ta có B, G, E thẳng hàng.
Từ đó, ta có BE = GE.

2. Ta có B, G, E thẳng hàng nên góc GEC = góc GBC = góc GAC = góc GAI = góc GIA = góc GID = góc GDI = góc GCI.
Do đó, tam giác GCE và tam giác GCI đồng dạng.
Vậy ta có CE/CI = GE/GI = 1/2.
Tương tự, ta cũng có BE/BI = 1/2.
Từ đó, ta suy ra BE = 9OE.
Vậy điểm O là trung điểm của CI.