a) Để chứng minh tứ giác \(ADBH\) nội tiếp và \(AD = AE\), ta sẽ sử dụng các tính chất của đường tròn.
Do \(D\) là điểm thuộc đường tròn có đường kính \(AB\), nên theo tính chất của đường tròn, ta có \(AD \perp DB\) và \(AD = BD\).
Tương tự, vì \(E\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(AC\), nên \(AE = AH\).
Vậy, ta có \(AD = BD = AH = AE\), từ đó suy ra tứ giác \(ADBH\) là tứ giác nội tiếp, và \(AD = AE\).
b) Để chứng minh \(DH \parallel AB\), ta sử dụng tính chất của tứ giác \(ADBH\) nội tiếp.
Do tứ giác \(ADBH\) là tứ giác nội tiếp, nên theo tính chất của tứ giác nội tiếp, ta có:
\[\angle DHB = \angle DAB\]
Tuy nhiên, vì \(AI\) là đường tròn có đường kính \(AB\), nên \(\angle DAB\) là góc nội tiếp tương ứng với cung \(DB\) trên đường tròn, nên \(\angle DAB = \angle IHB\).
Vậy, ta có \(\angle DHB = \angle IHB\), từ đó suy ra \(DH \parallel AB\).
Tiếp theo, vì \(DH \parallel AB\), nên theo tính chất của cặp góc đồng quy, ta có:
\[\angle DHI = \angle IAB\]
Nhưng vì \(AI\) là đường tròn có đường kính \(AB\), nên \(\angle IAB\) là góc nội tiếp tương ứng với cung \(IB\) trên đường tròn, nên \(\angle IAB = \angle ICB\).
Vậy, ta có \(\angle DHI = \angle ICB\).
Từ hai góc \(DHI\) và \(ICB\) đều bằng \(\angle IHK\), ta có thể kết luận rằng \(HA\) là phân giác của góc \(IHK\).