1. Ta có:
$\angle BHC = \angle BAC = 90^\circ$ (vì $MN \perp OA$ tại C)
$\angle BKC = \angle BMA = \angle BCA = \angle BHA$ (cùng chứng minh)
Vậy tứ giác BCHK nội tiếp.

2. Ta có:
$\angle AMO = \angle BMO = \angle BKA = \angle AKB$
Vậy tam giác AMO đều.
Từ đó, ta có $AH = AK = R$.
Vậy tích của AH.AK = $R^2$.

3. Gọi I là trung điểm của BM. Ta có:
$KM + KN + KB = 2KI + KB \leq 2BI + KB = 2(R - \frac{1}{2}BK) + BK = 2R$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi K trùng với I.
Vậy vị trí của điểm K để tổng KM + KN + KB đạt giá trị lớn nhất là khi K trùng với I và giá trị lớn nhất đó là 2R.