Để giải phương trình $x^2 - 4mx - 1 = 0$, ta có $\Delta = (4m)^2 + 4 = 16m^2 + 4$.

Vì phương trình có 2 nghiệm phân biệt, ta có:
$$x_1 = \frac{4m + \sqrt{16m^2 + 4}}{2} = 2m + \sqrt{4m^2 + 1}$$
$$x_2 = \frac{4m - \sqrt{16m^2 + 4}}{2} = 2m - \sqrt{4m^2 + 1}$$

Ta có:
$$x_1^3 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2^3 = (2m + \sqrt{4m^2 + 1})^3 \cdot (2m - \sqrt{4m^2 + 1}) + (2m + \sqrt{4m^2 + 1}) \cdot (2m - \sqrt{4m^2 + 1})^3$$
$$= (4m^3 + 3m\sqrt{4m^2 + 1} \cdot (4m^2 + 1) + (4m^2 + 1)\sqrt{4m^2 + 1}) \cdot (4m^2 - 1) + (4m^2 - 1)(4m^3 + 3m\sqrt{4m^2 + 1} + (4m^2 + 1)\sqrt{4m^2 + 1})$$
$$= 4m^3(4m^2 - 1) + 3m(4m^2 + 1)(4m^2 - 1) + (4m^2 + 1)(4m^2 - 1)\sqrt{4m^2 + 1} + 4m^2(4m^2 - 1) + 3m(4m^2 + 1)(4m^2 - 1) + (4m^2 + 1)(4m^2 - 1)\sqrt{4m^2 + 1}$$
$$= 16m^5 - 4m^3 + 12m(16m^4 - 1) + 8m^2\sqrt{4m^2 + 1} + 16m^4 - 4m^2 + 12m(16m^4 - 1) + 8m^2\sqrt{4m^2 + 1}$$
$$= 32m^5 + 192m^5 - 12m + 16m^4 - 4m^2 + 16m^4 - 4m^2 + 24m\sqrt{4m^2 + 1}$$
$$= 384m^5 + 32m^4 - 8m^2 - 12m + 24m\sqrt{4m^2 + 1}$$

Đề bài yêu cầu $x_1^3 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2^3 = 6$, từ đó ta có:
$$384m^5 + 32m^4 - 8m^2 - 12m + 24m\sqrt{4m^2 + 1} = 6$$
$$384m^5 + 32m^4 - 8m^2 - 12m + 24m\sqrt{4m^2 + 1} - 6 = 0$$

Vậy để giá trị của $m$ thỏa mãn điều kiện $x_1^3 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2^3 = 6$, ta cần giải phương trình $384m^5 + 32m^4 - 8m^2 - 12m + 24m\sqrt{4m^2 + 1} - 6 = 0$.