Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, với AB < AC. Gọi BM và CN là các đường cao của tam giác ABC. Các tiếp tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau tại D, các đường thẳng BC và OD cắt nhau tại I. a) Chứng minh: Tứ giác BCMN ..

a) Ta có:
$$\angle BMC = 90^\circ = \angle BNC$$
Do đó, tứ giác BCMN nội tiếp.

Gọi E là giao điểm của BC và MN. Ta có:
$$\angle EBC = \angle EBM = 90^\circ - \angle MBC = \angle ACB$$
$$\angle ECB = \angle ECN = 90^\circ - \angle NCB = \angle ABC$$
Vậy tam giác EBC đồng dạng với tam giác ABC, từ đó suy ra:
$$\angle EBC = \angle ABC = \angle AOC = \angle OCB$$
Do đó, OD vuông góc BC.

b) Ta có:
$$\angle ADB = \angle ACB = \angle EBC = \angle EBM = \angle CBM = \angle CDM$$
Vậy tứ giác ADBM nội tiếp. Tương tự, tứ giác ADNC nội tiếp.

Do đó:
$$\angle MAI = \angle MAB = \angle MDB = \angle NDC = \angle NAC = \angle NAI$$
Vậy tam giác AMI đồng dạng với tam giác ABD.

Từ đó, ta có:
$$\frac{MA}{AB} = \frac{AI}{ID} = \frac{IB}{BD}$$
$$\Rightarrow MA.DB = IB.AB$$

c) Ta có:
$$\angle KPB = \angle KPM + \angle MPB = \angle KCM + \angle MCB = \angle KCB$$
Vậy KP vuông góc BC.