a) Để đường thẳng (d) tiếp xúc parabol (P), ta cần giải hệ phương trình giữa phương trình của parabol và phương trình của đường thẳng và tìm điều kiện để giá trị n của m thỏa mãn.
1. Đường thẳng (d) tiếp xúc parabol (P) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm kép:
\[ y = x^2 \]
\[ mx + m - 1 = x^2 \]
2. Giải phương trình \( mx + m - 1 = x^2 \) ta được:
\[ x^2 - mx - m + 1 = 0 \]
3. Để có nghiệm kép, delta của phương trình \( \Delta = 0 \), tức là:
\[ \Delta = m^2 - 4(-m + 1) = m^2 + 4m - 4 = 0 \]
4. Giải phương trình \( m^2 + 4m - 4 = 0 \), ta có:
\[ m = \frac{{-4 \pm \sqrt{{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-4 \pm \sqrt}}{2} = \frac{{-4 \pm 4\sqrt{2}}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2} \]
Vậy khi \( m = -2 \pm 2\sqrt{2} \), đường thẳng (d) sẽ tiếp xúc với parabol (P).