a) Ta có:
$\angle OMI = \angle OMA$ (do $OM$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $M$)
$\angle OAI = \angle OMA$ (cùng chắn cung $OA$)
$\Rightarrow \angle OMI = \angle OAI$
Vậy tứ giác $AMOI$ nội tiếp.

b) Ta có:
$\angle CHI = \angle CNI$ (cùng chắn cung $CN$)
$\angle CNI = \angle CAN$ (do $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $N$)
$\angle CAN = \angle CHI$ (cùng chắn cung $CA$)
Vậy tứ giác $CHIN$ nội tiếp.

Gọi $G$ là giao điểm của $CI$ và $MN$. Ta có tứ giác $CFID$ là tứ giác điều hòa trên đường tròn $(O)$, suy ra $FI.FA=FC.FD$.

c) Ta có:
$\angle KAE = 90^\circ$ (do $KE \perp AM$)
$\angle KAE = \angle HAD$ (cùng chắn cung $AD$)
Vậy $E,H,D$ thẳng hàng.

Như vậy, điều cần chứng minh đã được chứng minh.