Cho tam giác ABC cân tại A, có các đường cao BD, CE cắt nhau tại H

Giải:

Câu 1:
a) Ta có tam giác ABC cân tại A nên BD là đường cao của tam giác ABC. Do đó, ta có tam giác ABD cũng cân tại A.
Khi đó, ta có AD = AB.
Tương tự, ta có tam giác ACE cũng cân tại A nên AE = AC.
Do đó, ta có AD = AB = AC = AE.

b) Ta có tam giác ABC cân tại A nên BD là đường cao của tam giác ABC. Kẻ HK vuông góc với BC tại K.
Ta cần chứng minh AK là tia phân giác của góc BAC.
Ta có:
Gọi I là giao điểm của AK và BD.
Ta có tam giác ABI cân tại A nên AI là đường phân giác của góc BAC.
Vậy AK là tia phân giác của góc BAC.

Câu 2:
a) Ta có tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại E. Từ E kẻ EH vuông góc với BC tại H.
Chứng minh: Tam giác ABE = tam giác HBE.
Ta có:
Góc ABE = Góc HBE (do cùng là góc vuông)
AB = HB (cạnh góc vuông)
AE = HE (cạnh chung)
Vậy tam giác ABE = tam giác HBE (theo định lí góc - cạnh - cạnh).

b) Chứng minh BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
Ta có:
Góc ABE = Góc HBE (đã chứng minh ở câu a)
AB = HB (cạnh góc vuông)
Vậy BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.

c) Kẻ AD vuông góc BC (D thuộc BC). Chứng minh AH là tia phân giác của góc DAC.
Ta có:
Góc DAC = Góc BAE (tia phân giác)
Góc BAE = Góc HBE (đã chứng minh ở câu a)
Vậy góc DAC = góc HBE.
Do đó, AH là tia phân giác của góc DAC.