Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MB

a) Ta có AM = MC (do tam giác ABC cân tại A), MD = MB (đề bài cho) nên tam giác AMC và MBD đều cân tại M. Do đó, ta có:
∠AMC = ∠ACM và ∠BMD = ∠MBD
Nhưng ∠ACM = ∠BMD (do cùng bằng 180° - ∠CMB), nên ta có:
∠AMC = ∠BMD
Vậy ta có AAMB = ACMD.

b) Ta có AAMB = ACMD (đã chứng minh ở câu a), nên ta có:
∠AAC = ∠ACM = ∠BMD = ∠ACD
Vậy tam giác AACD cân.

c) Gọi E là giao điểm của CI và AB. Ta có tam giác ABC cân tại A nên AM song song với BC và AH song song với BM. Do đó, ta có:
∠BAC = ∠BAM = ∠MBC = ∠HAC
Vậy tam giác HAC vuông tại H.

Ta có tam giác ABC cân tại A nên AM song song với BC, từ đó suy ra tam giác AMB cân tại M. Khi đó, ta có:
∠BAM = ∠ABM
Nhưng ∠BAM = ∠HAC (do AM song song với BC) nên ta có:
∠HAC = ∠ABM
Vậy tam giác HAC đồng dạng với tam giác ABM.

Từ đồng dạng của tam giác HAC và ABM, ta có:
AH/AB = AC/AM
Suy ra AH = AC/2

Gọi K là giao điểm của CI và AM. Ta có:
IN/BD = IK/KB
Nhưng ta có AK//BC (do tam giác ABM đồng dạng với HAC), nên ta có:
IK/KB = AI/IC
Nhưng ta có AH/AB = AC/AM = AI/IC (do đồng dạng của tam giác HAC và ABM), nên ta có:
AI/IC = AH/AB
Suy ra AI = AH/2 = AC/4

Vậy tỉ số IN/BD = AI/IC = AC/4.