Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Chứng minh rằng tam giác ADC = tam giác ABC

Để chứng minh các phần a, b, c, ta cần vẽ hình như sau:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=above left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=above right:$B$] (B) at (3,0);
\coordinate[label=above right:$C$] (C) at (3,4);
\coordinate[label=above left:$D$] (D) at (-3,0);
\coordinate[label=above right:$K$] (K) at (3,-1.5);
\coordinate[label=above left:$H$] (H) at (-3,2);
\coordinate[label=above right:$M$] (M) at (4.5,-1.5);
\coordinate[label=above right:$N$] (N) at (-1.5,2);
\coordinate[label=above right:$I$] (I) at (1.5,0);

\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (A) -- (D);
\draw (A) -- (K);
\draw (D) -- (C);
\draw (A) -- (H);
\draw (H) -- (C);
\draw (A) -- (M);
\draw (H) -- (N);
\draw (M) -- (N);
\draw (A) -- (I);
\draw (M) -- (I);
\draw (C) -- (B);
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

a) Ta có \(AD = AB\) (do \(D\) là trung điểm của \(AB\)) và \(\angle A = \angle A\), nên theo góc cạnh, ta có \(\triangle ADC = \triangle ABC\).

b) Ta có \(\angle AKC = 90^\circ\) (do \(AK\) vuông góc với \(BC\)) và \(\angle AHC = 90^\circ\) (do \(AH\) vuông góc với \(DC\)), nên \(AK \parallel HC\). Tương tự, ta có \(AH \parallel KC\). Do đó, ta có \(AK = AH\).

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\), ta có \(AI = \frac{1}{2}MN\). Ta cũng có \(MN \parallel CD\) (do \(AK\) cắt \(CD\) tại \(M\)), nên theo định lí Thales, ta có \(\frac{AM}{AK} = \frac{AI}{AN}\). Tương tự, ta có \(\frac{AH}{AN} = \frac{AI}{AM}\). Từ đó, ta suy ra \(AI = \frac{1}{2}MN\), tức là \(C, A, I\) thẳng hàng.