a) Chứng minh tam giác CBD là tam giác cân:

Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có \(AB \perp BC\). Do đó, tia đối của tia AB sẽ là tia đối của cạnh AC, tức là tia CD.

Vì AD = AB, ta có tam giác ABD cũng là tam giác cân với AB = AD.

Khi đó, ta có góc ABD = góc ADB.

Nhưng góc ADB = góc CDB (vì AB // CD), nên góc ABD = góc CDB.

Vậy tam giác CBD là tam giác cân.

b) Chứng minh BC = DE và E là trung điểm của BM:

Ta có M là trung điểm của CD nên CM = MD.

Vì DE // BC và BM cắt DE tại E, theo định lí chia tỉ lệ trong tam giác, ta có:

\(\frac{CE}{EB} = \frac{CM}{MD} = 1\)

Do đó, CE = EB, tức là BC = DE.

Vì E là trung điểm của BM nên BE = EM = \(\frac{1}{2}\)BM.

Vậy ta đã chứng minh BC = DE và E là trung điểm của BM.