Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H

a) Ta có:
$\angle ABE = \angle ACF$ (cùng là góc nhọn)
$\angle BAE = \angle CAF$ (cùng là góc nhọn)
$\angle AEB = \angle AFC$ (bù của góc nhọn)
Vậy tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF theo điều kiện góc.

Do đó, ta có $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{EF}{AC}$ (định lí đồng dạng tam giác)

$\Rightarrow AE \cdot AC = AB \cdot EF$

b) Gọi I là giao điểm của HP và AC. Ta có:
$\angle HMI = \angle HCM$ (do MH là đường trung tuyến của tam giác ABC)
$\angle HPM = \angle HAM$ (cùng là góc vuông)

Vậy tam giác HMI đồng dạng với tam giác HAC theo góc.

Do đó, ta có $\dfrac{AH}{HI} = \dfrac{CM}{MH}$ (định lí đồng dạng tam giác)

$\Rightarrow AH \cdot MH = HI \cdot CM$

Vậy ta có $AH \cdot HP = HI \cdot HC = HQ \cdot HA$

$\Rightarrow HP \cdot HQ = HA^2$

Vậy ta có HP vuông góc với HQ.