Từ điểm M cố định nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn (O) (AB là hai tiếp điểm), Một đường thẳng d thay đổi đi qua M, cắt đường tròn (O) tại hai điểm N, P sao cho MN

1) Ta có:
\(\widehat{AMB} = 90^{\circ}\) (do \(MA, MB\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \((O)\))
\(\widehat{AKB} = 90^{\circ}\) (do \(A, K, B, O\) cùng thuộc một đường tròn)
Do đó, \(A, M, B, O, K\) cùng thuộc một đường tròn.

2) Ta có:
\(\widehat{AKB} = 90^{\circ}\) (do \(A, K, B, O\) cùng thuộc một đường tròn)
\(KM\) là đường trung tuyến của tam giác \(MNP\)
\(KN = KP\) (do \(K\) là trung điểm của \(NP\))
Vậy, ta có \(KM\) là tia phân giác của góc \(AKB\).

3) Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(M\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(N, P\) sao cho \(MN < MP\).
Ta có diện tích tam giác \(MPQ\) là:
\(S_{MPQ} = \frac{1}{2} \times MP \times QP \times \sin(\widehat{MPQ})\)
\(S_{MPQ} = \frac{1}{2} \times MP \times QP \times \sin(\widehat{MQP})\) (vì \(\widehat{MPQ} = \widehat{MQP}\))
\(S_{MPQ} = \frac{1}{2} \times MP \times QP \times \sin(\widehat{MKN})\) (vì \(MN \parallel KP\))
\(S_{MPQ} = \frac{1}{2} \times MP \times QP \times \sin(\widehat{MKN})\) (vì \(KN = KP\))
Để \(S_{MPQ}\) đạt giá trị lớn nhất, ta cần \(MP \times QP\) đạt giá trị lớn nhất.
\(MP \times QP\) đạt giá trị lớn nhất khi \(MP = QP\) (tức là tam giác \(MPQ\) là tam giác cân)
Vậy, để diện tích tam giác \(MPQ\) đạt giá trị lớn nhất, đường thẳng \(d\) cần đi qua trung điểm của cung \(NP\) trên đường tròn \((O)\).