a) Ta có:
\(\angle BAH = \angle C\), \(\angle AHB = \angle B\)
Vậy tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC theo góc.

b) Ta có:
\(AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = BC^2\)
Vậy tam giác ABC vuông tại A.
Do đó, đường cao AH chính là đường huyền của tam giác ABC.
\(AH = BC = 5cm\)

c) Gọi I là giao điểm của đường phân giác của góc ABC với đường AH.
Ta có: \(\frac{AM}{MB} = \frac{AC}{CB} = \frac{4}{5}\)
Vậy \(AM = \frac{4}{9} \times AH = \frac{4}{9} \times 5 = \frac{20}{9} cm\)
Tương tự, ta có: \(AN = \frac{3}{9} \times AH = \frac{3}{9} \times 5 = \frac{15}{9} cm\)
\(MA \times NA = \frac{20}{9} \times \frac{15}{9} = \frac{300}{81} = \frac{100}{27} cm^2\)
\(MH \times NC = \frac{4}{9} \times \frac{5}{9} = \frac{20}{81} cm^2\)
Vậy ta có: \(MA \times NA = MH \times NC\)