Cho ΔABC nhọn (AB < AC) có các đường cao BD và CE

a) Ta có:
$\angle ABD = \angle ACE$ (do $BD \perp AC$ và $CE \perp AB$)
$\angle ADB = \angle AEC$ (cùng là góc vuông)
Vậy $\Delta ABD \sim \Delta ACE$ (theo góc)

Từ $\Delta ABD \sim \Delta ACE$, ta có:
$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE}$
$\Rightarrow AE.AB = AD.AC$

b) Gọi I là giao điểm của d và AM. Ta có:
$\angle IAM = 90^\circ$ (do d vuông góc với AM)
$\angle IAP = 90^\circ$ (do d vuông góc với AP)
$\Rightarrow AI \parallel BC$

Khi đó, ta có $\Delta ABD \sim \Delta AIP$ (theo góc)
$\Rightarrow \frac{AD}{AI} = \frac{AB}{AP}$
$\Rightarrow AI.AP = AD.AB$

Vậy $DQ.DP = DA.DC$ và do A là trung điểm của BC nên A cũng là trung điểm của KL.

c) Ta có:
$\angle AFB = \angle AEP$ (cùng là góc vuông)
$\angle AFE = \angle APB$ (cùng là góc vuông)
Vậy $\Delta AFB \sim \Delta AEP$ (theo góc)

Từ $\Delta AFB \sim \Delta AEP$, ta có:
$\frac{AB}{AE} = \frac{AF}{AP}$
$\Rightarrow AE.AB = AF.AP$

Vậy C, E, N thẳng hàng.