A= 1/51 + 1/52 + ...... + 1/100 chứng minh 3/5 < a < 31/40

Để chứng minh 3/5 < a < 31/40, ta cần so sánh giá trị của a với 3/5 và 31/40.

Đầu tiên, ta tính giá trị của a bằng cách tính tổng các phân số từ 1/51 đến 1/100:

a = 1/51 + 1/52 + ... + 1/100

Ta có thể thấy rằng a là một tổng các phân số đảo nghịch, và mỗi phân số trong tổng này đều nhỏ hơn 1/51. Do đó, ta có thể ước lượng giá trị của a bằng cách so sánh với tổng các phân số đảo nghịch bắt đầu từ 1/51:

1/51 + 1/52 + 1/53 + ... + 1/100 < 1/51 + 1/51 + 1/51 + ... + 1/51 = 50/51

Vậy ta có: a < 50/51

Tiếp theo, ta cần so sánh giá trị của a với 31/40:

Để làm điều này, ta cần chia tổng các phân số từ 1/51 đến 1/100 thành các nhóm sao cho tổng của mỗi nhóm lớn hơn hoặc bằng 31/40. Một cách tiếp cận là chia tổng này thành các nhóm có 10 phân số, mỗi nhóm có tổng lớn hơn hoặc bằng 31/40:

(1/51 + 1/52 + ... + 1/60) + (1/61 + 1/62 + ... + 1/70) + (1/71 + 1/72 + ... + 1/80) + (1/81 + 1/82 + ... + 1/90) + (1/91 + 1/92 + ... + 1/100)

Tổng của mỗi nhóm trên lớn hơn hoặc bằng 10*(1/60) = 1/6 = 10/60 = 5/30 = 31/40

Vậy ta có: a > 31/40

Kết hợp với kết quả trước đó, ta có: 31/40 < a < 50/51

Do đó, ta đã chứng minh được rằng 3/5 < a < 31/40.