Để tìm nghiệm của đa thức \( -x^3 + x^2 + 5x \), ta cần giải phương trình \( -x^3 + x^2 + 5x = 0 \).

Bước đầu tiên là đặt đa thức về dạng có thể phân tích được. Ta nhận thấy rằng tất cả các hạng tử đều có chứa \( x \), vì vậy ta có thể đặt \( x \) ra ngoài làm nhân tử chung:

\[ -x^3 + x^2 + 5x = x(-x^2 + x + 5) \]

Bây giờ ta có phương trình:

\[ x(-x^2 + x + 5) = 0 \]

Phương trình này sẽ bằng 0 khi một trong hai nhân tử bằng 0. Do đó, ta có hai trường hợp:

1. \( x = 0 \)
2. \( -x^2 + x + 5 = 0 \)

Trường hợp 1: \( x = 0 \) là một nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: Giải phương trình bậc hai \( -x^2 + x + 5 = 0 \).

Ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Trong phương trình của chúng ta, \( a = -1 \), \( b = 1 \), và \( c = 5 \). Thay các giá trị này vào công thức nghiệm:

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(-1)(5)}}{2(-1)} \]
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 20}}{-2} \]
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{-2} \]
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{-2} \]
\[ x = \frac{-1 + \sqrt{21}}{-2} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{-1 - \sqrt{21}}{-2} \]
\[ x = \frac{1 - \sqrt{21}}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{1 + \sqrt{21}}{2} \]

Vậy các nghiệm của đa thức \( -x^3 + x^2 + 5x \) là:

\[ x = 0, \quad x = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}, \quad x = \frac{1 + \sqrt{21}}{2} \]