Để tính diện tích của tam giác vuông ABC, ta cần biết độ dài của hai cạnh góc vuông. Trong tam giác vuông ABC, cạnh huyền là AB, cạnh góc vuông là AC và BC. Đường cao AH chia cạnh huyền AB thành hai đoạn AH và HB.

Theo đề bài, ta có:
- AC = 15
- HB = 16

Gọi AH là đoạn còn lại của cạnh huyền AB. Ta có:
\[ AB = AH + HB \]

Sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông ABC:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Để tìm BC, ta cần biết độ dài của AB. Ta sẽ sử dụng tính chất của đường cao trong tam giác vuông. Đường cao AH chia tam giác vuông ABC thành hai tam giác vuông nhỏ hơn là AHC và BHC, cả hai đều đồng dạng với tam giác ABC.

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông:
\[ AH^2 = AC \cdot HB \]

Thay số vào:
\[ AH^2 = 15 \cdot 16 \]
\[ AH^2 = 240 \]
\[ AH = \sqrt{240} = 4\sqrt{15} \]

Do đó, độ dài của cạnh huyền AB là:
\[ AB = AH + HB = 4\sqrt{15} + 16 \]

Bây giờ, ta sử dụng định lý Pythagoras để tìm BC:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
\[ (4\sqrt{15} + 16)^2 = 15^2 + BC^2 \]

Tính \( (4\sqrt{15} + 16)^2 \):
\[ (4\sqrt{15} + 16)^2 = (4\sqrt{15})^2 + 2 \cdot 4\sqrt{15} \cdot 16 + 16^2 \]
\[ = 240 + 128\sqrt{15} + 256 \]
\[ = 496 + 128\sqrt{15} \]

Do đó:
\[ 496 + 128\sqrt{15} = 225 + BC^2 \]

Ta thấy rằng phương trình này không dễ dàng giải quyết bằng cách thông thường. Thay vào đó, ta sẽ sử dụng một cách tiếp cận khác để tìm diện tích tam giác vuông ABC.

Diện tích tam giác vuông ABC có thể được tính bằng:
\[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \]

Ta cần tìm BC. Sử dụng định lý đường cao trong tam giác vuông:
\[ AH \cdot AB = AC \cdot BC \]

Thay số vào:
\[ 4\sqrt{15} \cdot (4\sqrt{15} + 16) = 15 \cdot BC \]

Giải phương trình này để tìm BC:
\[ 4\sqrt{15} \cdot 4\sqrt{15} + 4\sqrt{15} \cdot 16 = 15 \cdot BC \]
\[ 240 + 64\sqrt{15} = 15 \cdot BC \]

Do đó:
\[ BC = \frac{240 + 64\sqrt{15}}{15} \]

Tính diện tích tam giác:
\[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \frac{240 + 64\sqrt{15}}{15} \]
\[ = \frac{1}{2} \cdot (240 + 64\sqrt{15}) \]
\[ = 120 + 32\sqrt{15} \]

Vậy diện tích của tam giác vuông ABC là \( 120 + 32\sqrt{15} \) đơn vị diện tích.