Tìm m để hàm số (d) đồng biến; nghịch biến trên R . Viết phương trình đường thẳng (d’) đi qua điểm B(1 ; 3) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5

a/ Để hàm số (d) đồng biến trên R, ta cần xác định điều kiện để đạo hàm của hàm số luôn dương hoặc luôn âm trên R.

Đạo hàm của hàm số y = mx^2 - 1 là y' = 2mx.

Để y' luôn dương trên R, ta cần m > 0.
Để y' luôn âm trên R, ta cần m < 0.

Vậy, hàm số (d) đồng biến trên R khi m > 0 hoặc m < 0.

b/ Để hàm số (d) đi qua điểm A(2;1), ta thay x = 2 và y = 1 vào phương trình của hàm số:

1 = m(2)^2 - 1
1 = 4m - 1
4m = 2
m = 1/2

Vậy, m = 1/2 để hàm số (d) đi qua điểm A(2;1).

c/ Đường thẳng (d') đi qua điểm B(1;3) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 sẽ có phương trình dạng y = mx + c, trong đó m là hệ số góc và c là hằng số.

Vì đường thẳng đi qua điểm B(1;3), ta có:
3 = m(1) + c
c = 3 - m

Đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, nghĩa là khi x = 0, y = 5:
5 = m(0) + c
c = 5

Suy ra, 5 = 3 - m
m = -2

Vậy, phương trình đường thẳng (d') là y = -2x + 5.