Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Gọi D là điểm thuộc cạnh AB và I là trung điểm của CD. Trên tia IM lấy điểm K sao cho M là trung điểm của IK

a) Ta có M là trung điểm của BC nên theo định lí trung tuyến ta có BD//AC.
Gọi E là giao điểm của IM và BK.
Ta có MI = IK (do M là trung điểm của IK) và MI//BK (theo định lí chia đôi đoạn thẳng).
Do đó, ta có tam giác BME và tam giác CIE đồng dạng.
Từ đó suy ra BK//DC.

b) Ta có BD//AC (do M là trung điểm của BC) và BD=CJ (đề bài).
Do đó, ta có tam giác BDC và tam giác CJM đồng dạng.
Từ đó suy ra BD//IM và 2IM=BD.

c) Ta có MF vuông góc với AI (tia phân giác góc BAC) và MF//BC (do M là trung điểm của BC).
Do đó, tam giác BGF cân (BG=GF).

d) Ta có BD=CJ và N là trung điểm của DJ.
Do đó, ta có MN//DC và MN=CJ/2.
Từ đó, ta có MN vuông góc với GH (do GH//DC).