Cho tam giác ABC vuông tại A, có góc B = 32 độ

a) Ta có góc B = 32 độ, suy ra góc C = 90 - 32 = 58 độ. Do đó, số đo góc C là 58 độ.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos{C}\]

Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(BC = AB \cdot \sin{C} = AB \cdot \sin{58}\).

Thay vào công thức trên, ta được:

\[AB^2 = AC^2 + AB^2 \cdot \sin^2{58} - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \sin{58} \cdot \cos{58}\]

\[0 = AC^2 + AB^2 \cdot \sin^2{58} - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \sin{58} \cdot \cos{58}\]

\[AC^2 = AB^2 \cdot (2 \cdot \sin{58} \cdot \cos{58} - \sin^2{58})\]

\[AC^2 = AB^2 \cdot \sin{116}\]

Vậy ta có: \(AC = AB \cdot \sqrt{\sin{116}}\).

b) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Vì H là trung điểm của AD nên ta có AH = HD.

Do đó, tam giác ABH và tam giác DBH có cạnh BH chung, cạnh AB = cạnh DB và cạnh AH = cạnh HD nên theo nguyên lý cạnh - góc - cạnh ta có tam giác ABH = tam giác DBH.

c) Ta có tam giác ABC vuông tại A nên CD song song với BF.

Do đó, góc EBF = góc ECF = 90 độ.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên AE = EC và AF = FB.

Do đó, tam giác BEF là tam giác cân.

d) Ta có tam giác BEF là tam giác cân nên I là trung điểm của BF.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên EF song song với BC.

Do đó, góc BEF = góc BAC = 90 độ.

Vậy ba điểm B, C, I thẳng hàng.