a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

????????????^HBA chung

Do đó: ΔHBA~ΔABC

b: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

????????????^=????????????^(=900−????????????^)HAB=HCA(=900−ABC)

Do đó: ΔHAB~ΔHCA

=>????????????????=????????????????HCHA​=HAHB​

=>????????2=????????⋅????????HA2=HB⋅HC

c: Ta có: ED//AH

AH⊥⊥BC

Do đó: ED⊥⊥BC

Xét ΔHAD vuông tại H có HA=HD

nên ΔHAD vuông cân tại H

Xét tứ giác EDBA có ????????????^+????????????^=900+900=1800EDB+EAB=900+900=1800

nên EDBA là tứ giác nội tiếp

=>????????????^=????????????^=450AEB=ADB=450

Xét ΔAEB vuông tại A có ????????????^=450AEB=450

nên ΔAEB vuông cân tại A

=>AE=AB

a) Xét ∆ABC và ∆HBA có:

ˆBAC=ˆBHA=90o????????????^=????????????^=90????(gt)

ˆABC????????????^ chung (gt)

b) Xét ∆ADH và ∆CDE có:

ˆAHD=ˆCED????????????^=????????????^= 90o (gt)

ˆADH=ˆCDE????????????^=????????????^ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆ADH ∽∽  ∆CDE (g.g).

Suy ra AHCE=ADCD????????????????=????????????????  (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

c) Ta có: ∆ADH ∽∽  ∆CDE (câu b)

Suy ra  DHDE=DADC????????????????=???????????????? (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

Xét ∆HDE và ∆ADC có:

DHDE=DADC????????????????=???????????????? (cmt)

ˆHDE=ˆADC????????????^=????????????^ (hai góc đối đỉnh)

Suy ra ∆HDE ∽∽  ∆ADC (c.g.c)

Suy ra HDHE=ADAC????????????????=????????????????  (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

Do đó HD.AC = AD.HE

Mặc khác H là trung điểm của BD (gt) ⇒HD=BD2⇒????????=????????2 ;

Suy ra: HD.AC = BD2????????2 .AC = AD.HE

d) Vì AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến của BD nên AH là trung trực của BD.

Suy ra ∆ADB cân tại A và AH là phân giác của ˆBAD????????????^  hay ˆBAH=ˆHAD????????????^=????????????^ .

Từ câu a: ∆ABC ∽∽  ∆HBA suy ra ˆBAH=ˆBCA????????????^=????????????^  (hai góc tương ứng);

Từ câu b: ∆ADH ∽∽  ∆CDE suy ra ˆHAD=ˆECD????????????^=????????????^  (hai góc tương ứng).

Do đó ˆACH=ˆHCF????????????^=????????????^  hay CH là phân giác của ˆACF????????????^ .

Mặc khác HC vừa là đường cao của ∆ACF nên HC là trung trực của AF.

Hay BC là đường trung trực của đoạn thẳng AF.

Do đó BA = BF.

Suy ra ∆ABF cân tại B có ˆBAH=ˆBFH????????????^=????????????^ .

Xét ∆BHF và ∆FEA có:

ˆBFH=ˆFAE=ˆBAH????????????^=????????????^=????????????^ (cmt)

ˆBHF=ˆFEA????????????^=????????????^= 90o (gt)

Suy ra ∆BHF ∽∽  ∆FEA (g.g)

Suy ra BFHF=FAEA=AFAE????????????????=????????????????=????????????????  (các cạnh tương ứng tỉ lệ).

Do đó BF.AE = HF.AF.

Vì H là trung trực AF nên HF=AF2????????=????????2 .

Suy ra BF.AE=AF2.AF????????.????????=????????2.????????

Do đó AF2 = 2BF.AE