Để chứng minh điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các định lí về góc và đường thẳng.

a) Ta có:
- OM là tia phân giác của góc xOy nên góc xOM = góc yOM.
- OA vuông góc với MA nên góc xOM = góc AOM.
- OB vuông góc với MB nên góc yOM = góc BOM.

Do đó, ta có góc AOM = góc BOM, tức là tam giác OAM đồng dạng với tam giác OBM (cùng có góc vuông và góc nhọn bằng nhau).

Vậy, theo định lí đồng dạng, ta có OA/OB = AM/BM. Nhưng OA = OB (vì OA vuông góc với Ox và OB vuông góc với Oy), nên AM = BM.

Do đó, ta có AM = BM, tức là M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vậy OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

b) Ta có:
- Góc xOD = góc yOD = 90 độ (vì OD vuông góc với Ox và OD vuông góc với Oy).
- Góc xOC = góc yOC = 90 độ (vì OC vuông góc với Ox và OC vuông góc với Oy).

Vậy ta có tứ giác ODCM là tứ giác nội tiếp trong đó góc DCM = góc DOM và góc DMC = góc DOC.

Nhưng góc DOM = góc DOC (vì OM là tia phân giác của góc xOy), nên góc DCM = góc DMC.

Vậy tam giác DMC là tam giác cân.

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần a) và b).