Cho tam giác ABC cân tại A phân giác AD cắt đường trung tuyến BM tại G

a) Ta có:
$\angle ACG = \angle GAC = \angle ABC$ (vì tam giác ABC cân tại A)
$\angle BGC = \angle GBC = \angle ACB$ (vì tam giác ABC cân tại A)
Vậy ta có $\angle ACG = \angle BGC$, từ đó suy ra tam giác ABG bằng tam giác ACG và tam giác BGC cân.

b) Ta có:
$\angle ADB = \angle ADC$ (vì tam giác ABC cân tại A)
$\angle ABD = \angle ACD$ (vì tam giác ABC cân tại A)
Vậy ta có tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACD, từ đó suy ra $DB = DC$.

c) Ta có:
$\angle BCG = \angle GCB = \angle ACD$ (vì tam giác ABC cân tại A)
$\angle BCG = \angle GCB = \angle ACD$ (vì tam giác ABC cân tại A)
Vậy ta có tam giác BCG đồng dạng với tam giác ACD, từ đó suy ra $\frac{CK}{AD} = \frac{BG}{BC} = \frac{1}{3}$.
Do đó, $CK = \frac{2}{3} AD$.