Để chứng minh các phần a, b, c, ta sẽ sử dụng các định lí sau:
1. Đường trung tuyến chia một tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.
2. Hai tam giác có hai cạnh tương đương và góc giữa chúng bằng nhau là hai tam giác đồng dạng.

a) Ta có tam giác GMN và tam giác GEF đều có cạnh GM và GE tương đương với nhau (do E và F lần lượt là trung điểm của GA và GB), cạnh GN và GF tương đương với nhau (do N và M lần lượt là trung điểm của GB và GA), và góc GMN bằng góc GEF (do GM song song với EF và GN song song với EF). Do đó, theo định lí 2, ta có tam giác GMN đồng dạng với tam giác GEF.

b) Do tam giác GMN đồng dạng với tam giác GEF, nên các cặp cạnh tương đương của hai tam giác này là MN và EF. Vì vậy, ta có MN // EF.

c) Ta có AI // BC và BI // AC (do I là trung điểm của AB). Khi đó, ta có góc BAI bằng góc BCI (do hai đường thẳng AB và CI song song), và góc ABI bằng góc ACI (do hai đường thẳng AC và BI song song). Từ đó, ta suy ra tam giác ABI đồng dạng với tam giác ACI.

Vậy, ta có góc BAI bằng góc IAC, tức là góc BAG bằng góc GAC. Do đó, ta chứng minh được C, G, I thẳng hàng.

Như vậy, ta đã chứng minh được các phần a, b, c.