Cho đường tròn (O) dây AB cố định, C là điểm di động trên cung lớn AB, M và N là điểm chính giữa cung AC và cung nhỏ AB. Gọi I là giao điểm BM và CN. Dây MN cắt AC và AB lần lượt tại H và K

a) Ta có:
\(\angle BNI = \angle BCI\) (cùng chắn cung BC)
\(\angle BCI = \angle ACM\) (cùng chắn cung AC)
\(\angle ACM = \angle ANM\) (cùng chắn cung AM)
\(\angle ANM = \angle BNM\) (cùng chắn cung BM)
Vậy ta có: \(\angle BNI = \angle BNM\), suy ra \(BNKI\) là tứ giác nội tiếp.
Do đó, \(CM\) đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác \(BNKI\), tức là \(CM\) đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác \(BNKI\).

b) Ta có:
\(\angle NMI = \angle NBI\) (cùng chắn cung BM)
\(\angle NBI = \angle NCI\) (cùng chắn cung BC)
\(\angle NCI = \angle NCA\) (cùng chắn cung AC)
\(\angle NCA = \angle NMA\) (cùng chắn cung AM)
\(\angle NMA = \angle NMI\) (cùng chắn cung MN)
Vậy ta có: \(\angle NMI = \angle NMA\), suy ra \(NM\) đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(MIA\).
Do đó, ta có: \(NM \cdot NH = NC \cdot NI\).