Cho (O; R), A cố định nằm ngoài (O) sao cho OA = 2R, đường kính BC quay quanh O sao cho BC không đi qua A. Vẽ đường tròn qua A, B, C cắt đường thẳng OA tại điểm thứ hai là I

Giải:

a) Ta có:

$$\angle OBI = \angle OCI = 90^{\circ}$$

$$\Rightarrow OB \perp AI, OC \perp AI$$

$$\Rightarrow OB, OC \text{ là đường cao của tam giác } OAI$$

$$\Rightarrow OA.OI = OB.OC$$

b) Ta có:

$$\angle OBI = \angle OCI = 90^{\circ}$$

$$\Rightarrow OB \perp AI, OC \perp AI$$

$$\Rightarrow AI \text{ là đường cao của tam giác } OBC$$

$$\Rightarrow AI \text{ không đổi khi } BC \text{ quay quanh } O$$

c) Ta có:

$$\angle ADE = \angle AKE = 90^{\circ}$$

$$\Rightarrow ADEK \text{ là tứ giác nội tiếp}$

$$\Rightarrow \angle EKI = \angle EAI = \angle OAC = \angle OBC = \angle OCB = \angle OCA = \angle ECI$$

$$\Rightarrow E, K, I \text{ thẳng hàng}$$

d) Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE. Ta có:

$$\angle AOE = 2\angle ADE = 2\angle AKE = 2\angle AIK = \angle AO'I$$

$$\Rightarrow O' \text{ thuộc đường tròn cố định khi BC quay quanh } O$$

Vậy ta đã chứng minh được các phần a, b, c, d.