Ta có:
- $\angle ACD = 90^\circ$ (do $CD$ là đường cao của tam giác $ABC$)
- $\angle ABD = 90^\circ$ (do $BD$ là hình chiếu của $C$ trên $AB$)
- $\angle ACD = \angle ABD$ (cùng bằng $90^\circ$)
=> $ACBD$ là hình bình hành.

Kẻ $AM$ cắt $CD$ tại $N$.
Ta có $\angle ANM = \angle ACM = \angle ACD = \angle ABD = \angle ABM$ (do $ACBD$ là hình bình hành)
=> $ABNM$ là tứ giác nội tiếp.
=> $\angle ANB = \angle AMB = 90^\circ$
=> $AN \perp AB$
=> $AN$ là đường cao của tam giác $ABM$
=> $AN$ đi qua trung điểm của $BM$ (do $AN$ là đường cao và $AN$ cắt $BM$ tại trung điểm của $BM$)

Kẻ $AE$ cắt $BM$ tại $E'$.
Ta có $\angle ABE' = \angle ABE = \angle AME = \angle ANE$ (do $ABNM$ là tứ giác nội tiếp)
=> $ABNE'$ là tứ giác nội tiếp
=> $\angle ABE' = \angle ANE' = 90^\circ$
=> $AE'$ là đường cao của tam giác $ABN$
=> $AE'$ đi qua trung điểm của $BN$ (do $AE'$ là đường cao và $AE'$ cắt $BN$ tại trung điểm của $BN$)

Vậy $E'$ trùng với $E$.
=> $A, N, E$ thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được $ADME$ nội tiếp và $A, N, E$ thẳng hàng.