Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn. Chứng minh M là trung điểm của BC. Chứng minh hai đường thẳng EF và AD vuông góc với nhau

Giải

a) Ta có:
- $\angle BHC = 180^\circ - \angle A$ (do $BE \perp AC$ và $CF \perp AB$)
- $\angle BEC = 90^\circ - \angle C = \angle BAC$ (cùng chắn cung BC)
- $\angle BFC = 90^\circ - \angle B = \angle CAB$ (cùng chắn cung BC)
Do đó, tứ giác $BCEF$ nội tiếp đường tròn.

b) Gọi $N$ là giao điểm của $AM$ và $EF$. Ta có:
- $\angle MBC = \angle MDC = \angle A$ (cùng chắn cung AD)
- $\angle MCB = \angle MDB = \angle A$ (cùng chắn cung AD)
Do đó, $MB = MC$ nên $M$ là trung điểm của $BC$.

c) Ta có:
- $\angle EAD = \angle EAC = \angle EBC$ (cùng chắn cung BC)
- $\angle FAD = \angle FAC = \angle FCB$ (cùng chắn cung BC)
Vậy $EF \perp AD$.

d) Gọi $K'$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AM$. Ta có:
- $\angle K'MA = \angle K'MC = 90^\circ$ (do $K'M \perp AM$)
- $\angle K'MB = \angle K'MD = 90^\circ$ (do $K'M \perp AM$)
Vậy $MK'^2 = MB^2$. Tuy nhiên, ta cần chứng minh $K' = K$.

Giả sử $K' \neq K$, khi đó $K'$ nằm trên đoạn thẳng $AM$. Khi đó, $MK' < MA$ và $MK' < MB$, dẫn đến $MK'^2 < MB^2$, mâu thuẫn. Vậy $K' = K$.

Vậy $MK \cdot MA = MB^2$.