Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R), kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, kẻ tiếp tuyến IM với đường tròn (O) (M là tiếp điểm). Kẻ AM cắt đường tròn (O) tại C. Gọi P là trung điểm của MC, K là giao điểm của OI và BM

a) Ta có:
- Góc OMB = góc OIM (do AB // IM)
- Góc OBM = góc OMI (do OI là đường phân giác của góc BOM)
=> Tam giác OMB đồng dạng tam giác OIM
=> O,I,M,B cùng thuộc 1 đường tròn.
- Góc OAB = góc OPA (cùng là góc ngoại tiếp)
=> A,B,O,P cùng thuộc 1 đường tròn.

b) Ta có:
- Góc IAM = góc OMB (cùng là góc ở tâm cung cùng)
- Góc IMA = góc OIM (cùng là góc ở tâm cùng)
=> Góc IAM = góc IMA
- Ta có: AC.MC = BC.MC = R^2 (do tam giác ABC đều)
=> AC.MC = R^2

c) Ta có:
- MB^2 = MC^2 + BC^2 = MC^2 + R^2
- Ta có: OI // BC (vì OI là đường phân giác của góc BOM)
=> MB^2 = MC^2 + R^2 = 2MC^2
- Ta có: OI // BM (vì OI là đường phân giác của góc BOM)
=> MB/MK = MC/MO = 2
=> MB = 2MK
=> MB^2 = 4MK^2 = 2MC^2 = 2AM.KO

Vậy ta đã chứng minh được điều cần CMR.