Để chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD, ta cần chứng minh hai góc của chúng bằng nhau.

Góc AHB = Góc BCD (do là góc ở đỉnh)

Góc HAB = Góc DBC (do là góc vuông)

Vậy ta có tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD theo góc.

Để chứng minh AD² = DH = DB, ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ADH và tam giác vuông AHB.

Trong tam giác ADH, ta có:
AD² = AH² + DH²
3² = AH² + DH²
9 = AH² + DH²

Trong tam giác AHB, ta có:
AB² = AH² + BH²
4² = AH² + BH²
16 = AH² + BH²

Vì tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD, nên ta có:
AH/AD = BH/BC
AH/3 = BH/4
BH = 4AH/3

Thay BH vào phương trình 16 = AH² + BH² ta được:
16 = AH² + (4AH/3)²
16 = AH² + 16AH²/9
144 = 9AH² + 16AH²
144 = 25AH²
AH² = 144/25
AH = 12/5 cm

Vậy độ dài đoạn thẳng AH là 12/5 cm và DH cũng bằng 12/5 cm.